3.4.2 浮 力

 静力学平衡では、鉛直方向の正味の力が釣り合っているときを考えましたが、ここでは空気塊に正味

の力(浮力)が働く場合を考えます。P56の(3.39)式を書き換えると、

(1/ρ)凾o/凾y+g=0(=加速度)

となり、単位質量の空気塊の鉛直方向の正味の力が0のときの運動方程式です。今度は正味の力は0で

はないので鉛直方向の加速度も0ではありません。図3.25のように静力学平衡の大気中に温度T、体積

V、密度ρの空気塊を考え、重力加速度をgとします。

 

 

 

 

      図3.25 浮力

 

質量Mの空気塊の運動方程式は鉛直方向の加速度をαとすると、

     Mα=−M(1/ρ)凾o/凾y−Mg

       M=ρV

     ρVα=−V凾o/凾y−ρVg               (3.42)

となります。右辺第1項は鉛直方向の気圧傾度力、第2項は重力です。

 考えている空気塊と同体積の周囲の空気(図の右側)は静力学平衡ですから、これに働く気圧傾度力

と重力は釣り合っています。周囲の空気塊の運動方程式は

       0=−V凾o/凾y−ρ'Vg

となります。この式の気圧傾度力を(3.42)式へ代入し、これをρV(=M)で割ると単位質量につい

ての運動方程式(3.43)が得られます。

ρVα=ρ'Vg−ρVg

        α=(1/ρV)(ρ'Vg−ρVg)

          =(g/ρ)(ρ'−ρ)

          =(g/T')(T−T')              (3.43)

上式の密度差(ρ'−ρ)から温度差(T−T')へ式を変換するときに、簡単にするために乾燥空気の

状態方程式を使っていますが、湿潤空気の場合は仮温度を使います。

 


(3.43)式の導き方。

 空気塊と周囲の空気の状態方程式は

P=ρRT、P=ρ'RT' ですから、これからρ、ρ'を求めて代入します。

(g/ρ)(ρ'−ρ)=(gRT/P)[(P/RT')−(P/RT)]

          =gT(1/T'−1/T)=gT[(T−T')/TT'] 

          
=(g/T')(T−T')

          

 

 (3.43)式から次のことがわかります。

 空気塊と周囲の空気との温度差または密度差から加速度αが決まります。鉛直方向は上向きが+です

から加速度+は上昇、−は下降になります。

(T−T')>0または(ρ'−ρ)>0のとき、上昇:正の加速度

(T−T')=0または(ρ'−ρ)=0のとき、静止:加速度=0

(T−T')<0または(ρ'−ρ)<0のとき、下降:負の加速度

暖かい(軽い)空気塊は冷たい(重い)空気中を上昇し、冷たい(重い)空気塊は暖かい(軽い)空気

中を下降します。暖かい(軽い)と冷たい(重い)ことは、空気塊と周りの空気の相対的なものです。

以上が浮力の説明です。

 

[問題] 温度25℃の大気中に温度20℃の空気塊があるとき、空気塊に働く加速度を求めなさい。重力

加速度は9.8m/s、絶対0度は273度とします。

    答え −0.16m/s

    (3.43)式へ数値を入れて、計算してください。加速度は−の符号ですから、下向きです。