ある気体についてなんていわずに、気体の種類によらない状態方程式を導きましょう。

 ある気体の分子量がMの時、その気体M(Kg)を1キロモル(Kmol)と定義します。酸素(O

の分子量は32.00ですから酸素32.00Kgは酸素1キロモルで、64.00Kgは64.00/32.00=2キロモ

ルになります。水蒸気(HO:分子量18.02)は18.02Kgが1キロモルです。

 分子量Mの気体がmKg存在するとき、その気体のキロモル数nは

          n=m/M                    (3.13)

になります。複数の気体(種類を添え字iで表わします。)のそれぞれ1キロモルを考え、分子量を

i、質量をmiとします。キロモル数は1ですから、

  m/M=m/M=・・・・・=mi/Mi=1(キロモル)

となります。キロモル数が2でも5でも同じことです。また、(質量)/(分子量)はその中に存在

する分子の個数を示します。したがって、同じキロモルの気体には同じ個数の気体分子が含まれる

ことになります。どんな気体でも1キロモルに含まれる分子の数は同じで、アボガドロの定数とい

い、

 アボガドロの定数N=6.022×1026

です。キロモルの定義は「ある量の気体の分子の個数がアボガドロの定数に等しいとき、その気体

が1キロモル存在する。」というものです。

あと少しで気体の状態方程式の完成です。

 アボガドロの仮説

 「同じ数の分子を含む気体は同一温度、同一圧力のもとでは、同一体積を占める。」

というものがあります。ここで1kmolの気体(同じ数の分子を含む)について考えると、

同一温度(T)、同一圧力(P)では同一体積(v:1キロモルの気体が占める体積)ですから、(3.12)

式のPv/T=ある値になり、(3.12)式のCは全ての気体についての共通の定数となります。

1キロモルの気体についての状態方程式は

Pv/T=全ての気体についての定数

         =R

     Pv=RT                         (3.14)

        :一般(普遍)気体定数

           8314.3JK−1mol−1

と書けます。

3.14)式は1キロモルの気体についての状態方程式で、すこし不便ですから任意のnキロモルの

気体に拡大します。(3.14)式をn倍します。

Pnv=nR

    V=nv :nキロモルの気体が占める体積

     PV=nR

さらに、単位質量の気体についての状態方程式を導きます。

上式をnキロモルの気体の質量Mで割ります。

     PV/M=nRT/M

ここで、密度=ρ=M/V、比容=α=1/ρ、キロモル数=n=M/m

(m:気体の分子量)を上式に代入、整理します。

P=ρRT :R=R/m                  (3.15)

     Pα=RT                         (3.16)

Rはある気体についての気体定数で、一般気体定数をその分子量で割ったものに等しいものです。

この式をボイル・シャルルの法則、あるいは気体の状態方程式と呼びます。また、この式に従う気体

理想気体と言います。実は、あまり高い圧力や低い温度ではボイル・シャルルの式は成立しません

が、気象で取り扱う範囲では、乾燥空気は理想気体と見なしても問題はありません。

乾燥空気の気体定数Rを求めてみましょう。まず、乾燥空気の平均分子量mは次のようにして求

められます。空気は混合気体で、その組成は表3.2のようになっています。水蒸気を除いた分が乾

燥空気で、主成分は近似的に窒素、酸素、アルゴンと考えられます。それぞれの容積率と分子量か

ら乾燥空気の平均分子量mは

m=28×0.78+32×0.21+40×0.01=28.96

で、したがって乾燥空気の気体定数Rは(3.15)式から

 =R/m=287Jkg−1−1

になります。

水蒸気は分子量が18.02ですから気体常数は461Jk−1−1になります。Rの単位は単位質量

当たり単位温度当たりのエネルギーで、比熱と同じです。

の単位JK−1mol−1とは違いますから注意してください。

 

表3.2 地表付近の大気組成

成 分

 分子量

 容積%

 重量%

窒素(N

酸素(O

アルゴン(A

二酸化炭素(CO

オゾン(O

水蒸気(HO)

 28.02

 32.00

 39.94

 44.01

 48.0

 18.02

 78.09

 20.95

  0.93

   0.03

  2×10−6

  不 定

 75.53

 23.14

  1.28

   0.0456

  3×10−6

  不 定

 

 

 

 

 

 

 

 

 乾燥空気の状態方程式はRを使って

P=ρR                         (3.17)

     Pα=R                         (3.18)

となります。

 状態方程式は気圧(圧力)P、密度ρ(または比容α)、温度Tの三つの変数を含んでいますが、

二つの変数が分れば残りのものを求めることが出来るわけです。

 

[問題]圧力800hPa、温度0℃の時の乾燥空気の密度を求めなさい。

  (3.17)式を使いますが、単位に気を付けましょう。

  R287Jkg−1−1

  P=800×100(Pa)、T=273.15(K)、Rd=287Jkg−1−1

  ρ=800×100/(287×273.15)=1.02kgm−3

 

[問題]気圧1020.00hPa、密度1.225kgm−3の乾燥空気の温度を求めなさい。

287Jkg−1−1

  (3.17)式から 

T=P/(ρR)=290.12K=17.0℃